台形ABCDにおいて、AB = 6 cm, CD = 3 cm, DA = 4 cm, ∠B = ∠C = 90°である。この台形を辺DCを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求める。答えはπを使った形で表す。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB = 6 cm, CD = 3 cm, DA = 4 cm, ∠B = ∠C = 90°である。この台形を辺DCを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求める。答えはπを使った形で表す。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として回転させると、底面が半径6cmと半径3cmの円である円柱がくり抜かれた円柱ができる。

まず、大きな円柱の体積を求める。底面の半径はABの長さの6cm、高さはDCの長さの3cmである。したがって、大きな円柱の体積は、

$V_1 = π × 6^2 × 3 = π × 36 × 3 = 108π cm^3$

次に、小さな円柱の体積を求める。底面の半径はCDの長さの3cm、高さはDCの長さの3cmである。したがって、小さな円柱の体積は、

$V_2 = π × 3^2 × 3 = π × 9 × 3 = 27π cm^3$

求める体積は、大きな円柱の体積から小さな円柱の体積を引いたものである。

$V = V_1 - V_2 = 108π - 27π = 81π cm^3$

3. 最終的な答え

81π cm³