点Aの位置ベクトルが$\vec{a}$であるとき、ベクトル方程式 $|4\vec{p} - 3\vec{a}| = 8$ で表される円について、以下の問いに答えます。 (1) 中心の位置ベクトルと半径を求めます。 (2) $\vec{a} = (-4, 8)$ とするとき、円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点Aの位置ベクトルが$\vec{a}$であるとき、ベクトル方程式 $|4\vec{p} - 3\vec{a}| = 8$ で表される円について、以下の問いに答えます。

(1) 中心の位置ベクトルと半径を求めます。

(2) $\vec{a} = (-4, 8)$ とするとき、円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 中心の位置ベクトルと半径を求める。

ベクトル方程式を変形します。

$|4\vec{p} - 3\vec{a}| = 8$

$4|\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{a}| = 8$

$|\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{a}| = 2$

この式は、位置ベクトル$\vec{p}$の点が、位置ベクトル$\frac{3}{4}\vec{a}$の点から距離2のところにあることを意味します。

したがって、中心の位置ベクトルは $\frac{3}{4}\vec{a}$ であり、半径は 2 です。

(2) $\vec{a} = (-4, 8)$ とするとき、円の方程式を求める。

(1)より、中心の位置ベクトルは $\frac{3}{4}\vec{a}$ であり、半径は 2 です。

$\vec{a} = (-4, 8)$ を代入すると、中心の位置ベクトルは $\frac{3}{4}(-4, 8) = (-3, 6)$ となります。

したがって、円の方程式は $(x + 3)^2 + (y - 6)^2 = 2^2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 中心の位置ベクトル: $\frac{3}{4}\vec{a}$、半径: 2

(2) 円の方程式: $(x + 3)^2 + (y - 6)^2 = 4$