三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを2:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、BP/PC、PO/OA、S/T（ただし、Sは三角形OBCの面積、Tは三角形ABCの面積）を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを2:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。このとき、BP/PC、PO/OA、S/T（ただし、Sは三角形OBCの面積、Tは三角形ABCの面積）を求める。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いてBP/PCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より、AR/RB = 2/1、CQ/QA = 3/2であるから、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{1}{3}$

次に、メネラウスの定理を用いてPO/OAを求める。三角形ABCにおいて、直線RPが交わると考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OQ} = 1$ ではなく、AOを延長した線とBCの交点がPであることからメネラウスの定理を三角形AQCと直線POで適用する。

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$　　(間違い)

三角形ABQと直線CRについてメネラウスの定理を使うと、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{5}{6}$

よって、$\frac{OQ}{BO} = \frac{6}{5}$。つまり、$\frac{OQ}{BQ} = \frac{6}{11}$。

三角形ACRと直線BQについてメネラウスの定理を使うと、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BP} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4/3}{1/3} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{PO}{OA} = \frac{3}{8}$

最後に、S/Tを求める。

$S = \triangle OBC = \frac{BO}{BQ} \cdot \frac{CP}{CB} \triangle ABC$

$\frac{BO}{BQ} = \frac{5}{11}$

$\frac{CP}{BC} = \frac{3}{4}$

なので、

$S = \frac{5}{11} \cdot \frac{3}{4} \triangle ABC = \frac{15}{44} T$

よって、$\frac{S}{T} = \frac{15}{44}$

3. 最終的な答え

BP/PC = 1/3

PO/OA = 3/8

S/T = 15/44