三角形ABCにおいて、辺ABを5:2に内分する点をP、辺ACを7:2に外分する点をQとする。直線PQと辺BCの交点をRとするとき、線分BRとCRの比、および三角形BPRの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを5:2に内分する点をP、辺ACを7:2に外分する点をQとする。直線PQと辺BCの交点をRとするとき、線分BRとCRの比、および三角形BPRの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を用いることで解くことができます。

(1) メネラウスの定理の適用

三角形ABCにおいて、直線PQが辺BC、CA、ABとそれぞれR, Q, Pで交わるとき、以下の式が成立します。

$\frac{BP}{PA} \cdot \frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

問題文より、$AP:PB = 2:5$, $AQ:QC = 7:(-2)$であるから、

$\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{-2} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

$\frac{CR}{RB} = \frac{2}{5} \cdot \frac{-2}{7} = \frac{-4}{35}$

$\frac{RB}{CR} = \frac{-35}{4}$

$BR:CR = 35:4$ （絶対値を取る）

(2) 面積比の計算

三角形BPRの面積を求めるために、まず三角形ABCの面積を基準として、各辺の比率を使って計算を進めます。

$\triangle BPR = \triangle ABC \cdot \frac{BR}{BC} \cdot \frac{BP}{BA}$

$BR:CR = 35:4$より、$BR:BC = 35:(35+4)=35:39$である。

$BP:BA = 5:(5+2)=5:7$である。

$\triangle BPR = \triangle ABC \cdot \frac{35}{39} \cdot \frac{5}{7} = \triangle ABC \cdot \frac{175}{273} = \triangle ABC \cdot \frac{25}{39}$

したがって、$\triangle BPR$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{25}{39}$倍です。

3. 最終的な答え

BR:CR = 35:4

三角形BPRの面積は三角形ABCの面積の 25/39 倍