三角形ABCにおいて、辺ABを5:2に内分する点をP、辺ACを7:2に外分する点をQとする。直線PQと辺BCの交点をRとするとき、BR:CRと、三角形BPRの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを5:2に内分する点をP、辺ACを7:2に外分する点をQとする。直線PQと辺BCの交点をRとするとき、BR:CRと、三角形BPRの面積が三角形ABCの面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形ABCと直線PQに適用する。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

与えられた条件から、

$AP:PB = 5:2$ なので $\frac{AP}{PB} = \frac{5}{2}$。

$AQ:QC = 7:(-2)$ なので $\frac{CQ}{QA} = \frac{2}{7}$。

したがって、

$\frac{5}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{2}{7} = 1$

$\frac{BR}{RC} = \frac{7}{5}$

ゆえに、$BR:CR = 7:5$。

次に、三角形の面積比を求める。

$\frac{AP}{AB} = \frac{5}{7}$, $\frac{BR}{BC} = \frac{BR}{BR+CR} = \frac{7}{7+5} = \frac{7}{12}$

$\triangle BPR$の面積は、$\triangle ABC$の面積に対して、

$\frac{\triangle BPR}{\triangle ABC} = \frac{BP}{BA} \cdot \frac{BR}{BC} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

したがって、三角形BPRの面積は三角形ABCの面積の$\frac{1}{6}$倍である。

3. 最終的な答え

BR:CR = 7:5

三角形BPRの面積は三角形ABCの面積の$\frac{1}{6}$倍