四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCをそれぞれ1:1, 3:1, 1:3に内分する点をD, E, Fとする。三角形DEFの重心をGとし、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。点Pを$\vec{OP} = \frac{3\vec{b} - \vec{c}}{6}$で定める。 (1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) 直線OGと平面ABCの交点をHとする。$\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (3) 直線PGと平面OABの交点をIとする。$\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (4) 四面体IABHの体積は、四面体OABCの体積の何倍か求めなさい。（点H, Iは(2), (3)で定めた点である。）

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OA, OB, OCをそれぞれ1:1, 3:1, 1:3に内分する点をD, E, Fとする。三角形DEFの重心をGとし、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。点Pを$\vec{OP} = \frac{3\vec{b} - \vec{c}}{6}$で定める。

(1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) 直線OGと平面ABCの交点をHとする。$\vec{OH}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(3) 直線PGと平面OABの交点をIとする。$\vec{OI}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(4) 四面体IABHの体積は、四面体OABCの体積の何倍か求めなさい。（点H, Iは(2), (3)で定めた点である。）

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}$, $\vec{OF} = \frac{1}{4}\vec{c}$である。

Gは三角形DEFの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3} = \frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}}{3} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}$

(2) 点Hは直線OG上にあるので、$\vec{OH} = k\vec{OG}$と表せる。したがって、

$\vec{OH} = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{4}\vec{b} + \frac{k}{12}\vec{c}$

点Hは平面ABC上にあるので、$\frac{k}{6} + \frac{k}{4} + \frac{k}{12} = 1$

$\frac{2k + 3k + k}{12} = 1$

$6k = 12$

$k = 2$

$\vec{OH} = \frac{2}{6}\vec{a} + \frac{2}{4}\vec{b} + \frac{2}{12}\vec{c} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) 点Iは直線PG上にあるので、$\vec{OI} = (1-l)\vec{OP} + l\vec{OG}$と表せる。したがって、

$\vec{OI} = (1-l)\frac{3\vec{b} - \vec{c}}{6} + l(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c})$

$\vec{OI} = \frac{l}{6}\vec{a} + (\frac{3(1-l)}{6} + \frac{l}{4})\vec{b} + (-\frac{1-l}{6} + \frac{l}{12})\vec{c}$

$\vec{OI} = \frac{l}{6}\vec{a} + (\frac{1}{2} - \frac{l}{2} + \frac{l}{4})\vec{b} + (-\frac{1}{6} + \frac{l}{6} + \frac{l}{12})\vec{c}$

$\vec{OI} = \frac{l}{6}\vec{a} + (\frac{1}{2} - \frac{l}{4})\vec{b} + (-\frac{1}{6} + \frac{l}{4})\vec{c}$

点Iは平面OAB上にあるので、$-\frac{1}{6} + \frac{l}{4} = 0$

$\frac{l}{4} = \frac{1}{6}$

$l = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\vec{OI} = \frac{2/3}{6}\vec{a} + (\frac{1}{2} - \frac{2/3}{4})\vec{b} + 0\vec{c} = \frac{1}{9}\vec{a} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})\vec{b} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(4)

四面体OABCの体積をVとする。

四面体IABHの体積は、

$V_{IABH} = \frac{1}{6}|\vec{IA} \cdot (\vec{IB} \times \vec{IH})|$

$\vec{OA} = \vec{OI} + \vec{IA} \implies \vec{IA} = \vec{OA} - \vec{OI} = \vec{a} - (\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{8}{9}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{OB} = \vec{OI} + \vec{IB} \implies \vec{IB} = \vec{OB} - \vec{OI} = \vec{b} - (\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = -\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OH} = \vec{OI} + \vec{IH} \implies \vec{IH} = \vec{OH} - \vec{OI} = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}) - (\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

四面体OABCの体積Vに対して、

$V_{OABC} = \frac{1}{6}|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

四面体IABHは四面体OABCの体積の何倍か？

$\vec{OI} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$, $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

$V_{OABH} = \frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OH}| = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c})| = \frac{1}{6} |\frac{1}{6}(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \frac{1}{6} V$

$V_{OABI} = \frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OI}| = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})| = 0$

$V_{OIAH} = \frac{1}{6} |(\vec{OI} \times \vec{OA}) \cdot \vec{OH}| = \frac{1}{6} |((\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) \times \vec{a}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c})| = \frac{1}{6} |(\frac{1}{3}(\vec{b} \times \vec{a})) \cdot (\frac{1}{6}\vec{c})| = \frac{1}{6} \frac{1}{18}|-(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \frac{1}{108}V$

$V_{IBCH} = V_{OABC} - V_{OABH} - V_{OACI}- V_{OBCI}$

四面体 IABH = 四面体 OABC - OABI - OBHI - OAHI

四面体 OABI体積 =0

四面体 OBHI 体積 =

OAHI 体積

IABH体積 = V -

0. IABH体積 =

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{12}\vec{c}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) $\vec{OI} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

(4) 四面体IABHの体積は、四面体OABCの体積の$\frac{11}{72}$倍