円Kがあり、点Aを通る2つの直線L1, L2が円Kと交わっている。L1とKの交点はAに近い方からB, Cであり、L2とKの交点はAに近い方からD, Eである。$AB = BC = 2\sqrt{3}$、$AD = 3$、そして$CE = 6$という条件の下で、 (1) $AE$と$DE$の長さを求める。 (2) $\angle ADB$とある角が等しいことを利用して、$\triangle ADB$と$\triangle ACE$が相似であることを示し、$BD$の長さを求める。 (3) 線分CDとBEの交点をFとして、ある定理を用いて、$BF:FE$の比を求める。

1. 問題の内容

円Kがあり、点Aを通る2つの直線L1, L2が円Kと交わっている。L1とKの交点はAに近い方からB, Cであり、L2とKの交点はAに近い方からD, Eである。$AB = BC = 2\sqrt{3}$、$AD = 3$、そして$CE = 6$という条件の下で、

(1) $AE$と$DE$の長さを求める。

(2) $\angle ADB$とある角が等しいことを利用して、$\triangle ADB$と$\triangle ACE$が相似であることを示し、$BD$の長さを求める。

(3) 線分CDとBEの交点をFとして、ある定理を用いて、$BF:FE$の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

選択肢1から、方べきの定理を用いると、$AB \times AC = AD \times AE$が成り立つ。

$AB = 2\sqrt{3}$、$BC = 2\sqrt{3}$、$AD = 3$なので、$AC = AB + BC = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$2\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = 3 \times AE$

$24 = 3 \times AE$

$AE = 8$

$DE = AE - AD = 8 - 3 = 5$

(2)

$\angle ADB = \angle ACB$（円周角の定理より）

$\angle ACB = \angle ACE$なので、$\angle ADB = \angle ACE$ (選択肢2)

$\triangle ADB$と$\triangle ACE$において、$\angle ADB = \angle ACE$、$\angle DAB = \angle EAC$（共通の角）なので、$\triangle ADB \sim \triangle ACE$

$AD:AC = DB:CE$より、$3:4\sqrt{3} = DB:6$

$DB = \frac{3 \times 6}{4\sqrt{3}} = \frac{18}{4\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3)

選択肢9から、チェバの定理を用いると、$\frac{AC}{CB} \times \frac{BF}{FE} \times \frac{ED}{DA} = 1$が成り立つ。

$AC = 4\sqrt{3}$、$CB = 2\sqrt{3}$、$ED = 5$、$DA = 3$なので、

$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \times \frac{BF}{FE} \times \frac{5}{3} = 1$

$2 \times \frac{BF}{FE} \times \frac{5}{3} = 1$

$\frac{10}{3} \times \frac{BF}{FE} = 1$

$\frac{BF}{FE} = \frac{3}{10}$

$BF:FE = 3:10$

3. 最終的な答え

(1) $AE = 8$, $DE = 5$

(2) 4の選択肢：2, 5の選択肢：3, $BD = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) 1の選択肢：3, 9の選択肢：2, $BF:FE = 3:10$