与えられた不定積分を計算する問題です。 今回は、P.153 練習8 (4) の積分 $\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

今回は、P.153 練習8 (4) の積分

$\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$

を解きます。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。

$t = 1 + \cos x$ と置くと、$dt = -\sin x \, dx$ となります。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx = \int \frac{-dt}{t} = -\int \frac{1}{t} dt$

$\int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C$ (Cは積分定数)

よって、

$-\int \frac{1}{t} dt = -\log |t| + C = -\log |1 + \cos x| + C$

ここで、$1+\cos x$ は常に0以上なので絶対値記号を外すことができ、

$-\log(1 + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$-\log(1 + \cos x) + C$