点と直線の距離を求める問題です。 (1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離を求めます。 (2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + 1 = 0$ の距離を求めます。

1. 問題の内容

点と直線の距離を求める問題です。

(1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離を求めます。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + 1 = 0$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = -2$, $y_0 = 3$, $a = 3$, $b = 4$, $c = 9$ を公式に代入します。

$d = \frac{|3(-2) + 4(3) + 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-6 + 12 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + 1 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 1$, $b = -3$, $c = 1$ を公式に代入します。

$d = \frac{|1(0) - 3(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

有理化すると、

$d = \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) 点 $(-2, 3)$ と直線 $3x + 4y + 9 = 0$ の距離は $3$ です。

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $x - 3y + 1 = 0$ の距離は $\frac{\sqrt{10}}{10}$ です。