的中率75%の弓道選手が4本の矢を放ったとき、3本以上的中する確率を求める問題です。

1. 問題の内容

的中率75%の弓道選手が4本の矢を放ったとき、3本以上的中する確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布を用いて解きます。

的中率 $p = 0.75 = \frac{3}{4}$ で、試行回数 $n = 4$ です。

3本以上的中する確率は、3本的中する確率と4本的中する確率の和で求められます。

3本的中する確率を $P(X=3)$ 、4本的中する確率を $P(X=4)$ とすると、求める確率は $P(X=3) + P(X=4)$ で表されます。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数で、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

まず、$P(X=3)$ を計算します。

$P(X=3) = \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (1-\frac{3}{4})^{4-3} = \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^1$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$

$P(X=3) = 4 \times (\frac{27}{64}) \times (\frac{1}{4}) = \frac{108}{256} = \frac{27}{64}$

次に、$P(X=4)$ を計算します。

$P(X=4) = \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (1-\frac{3}{4})^{4-4} = \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^0$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

$P(X=4) = 1 \times (\frac{81}{256}) \times 1 = \frac{81}{256}$

したがって、求める確率は

$P(X=3) + P(X=4) = \frac{108}{256} + \frac{81}{256} = \frac{189}{256}$

3. 最終的な答え

$\frac{189}{256}$