ある人が他の人にニュースを伝え、それが次々に伝播していく状況を考える。「総選挙がある」という噂を聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。また、「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。$n$人を経由した後の噂の状態を表すベクトルを $x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ としたとき、噂が次々に伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す。

1. 問題の内容

ある人が他の人にニュースを伝え、それが次々に伝播していく状況を考える。「総選挙がある」という噂を聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は0.8、「総選挙がない」と伝える確率は0.2である。また、「総選挙がない」と聞いた人が、他者に「総選挙がある」と伝える確率は0.3、「総選挙がない」と伝える確率は0.7である。$n$人を経由した後の噂の状態を表すベクトルを $x_n = \begin{bmatrix} \text{選挙ありの確率} \\ \text{選挙なしの確率} \end{bmatrix}$ としたとき、噂が次々に伝播していくと、「総選挙がある」と聞く人と「総選挙がない」と聞く人の割合がそれぞれ一定値に近づくことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$x_n$ と $x_{n-1}$ の関係を求める。

$x_{n-1} = \begin{bmatrix} p_{n-1} \\ 1 - p_{n-1} \end{bmatrix}$ とすると、$x_n$ は以下のようになる。

$x_n = \begin{bmatrix} 0.8p_{n-1} + 0.3(1 - p_{n-1}) \\ 0.2p_{n-1} + 0.7(1 - p_{n-1}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5p_{n-1} + 0.3 \\ -0.5p_{n-1} + 0.7 \end{bmatrix}$

したがって、$p_n = 0.5p_{n-1} + 0.3$ となる。$p_n$ が一定値に近づくとき、$p_n = p_{n-1} = p$ となるから、

$p = 0.5p + 0.3$

$0.5p = 0.3$

$p = 0.6$

よって、「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6に近づき、「総選挙がない」と聞く人の割合は 1 - 0.6 = 0.4 に近づく。

3. 最終的な答え

「総選挙がある」と聞く人の割合は0.6に近づき、「総選挙がない」と聞く人の割合は0.4に近づく。