2次不等式 $ax^2 + bx + 3 > 0$ の解が $-1 < x < 3$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + bx + 3 > 0$ の解が $-1 < x < 3$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$ax^2 + bx + 3 > 0$ の解が $-1 < x < 3$ であることから、$ax^2 + bx + 3 = 0$ の解が $x = -1, 3$ であることがわかります。

次に、不等号の向きを考慮すると、$a < 0$ である必要があります。

$ax^2 + bx + 3 = 0$ の解が $-1, 3$ であるので、$a(x+1)(x-3) = 0$ と書けます。

展開すると、$a(x^2 - 2x - 3) = 0$ となり、$ax^2 - 2ax - 3a = 0$ となります。

これを $ax^2 + bx + 3 = 0$ と比較すると、$b = -2a$ かつ $-3a = 3$ となります。

$-3a = 3$ より、$a = -1$ となります。

$b = -2a$ に $a = -1$ を代入すると、$b = -2(-1) = 2$ となります。

したがって、$a = -1, b = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$