与えられた積分を計算します。積分は $\int x (e^x + 1) dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int x (e^x + 1) dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配法則で展開します。

$\int x (e^x + 1) dx = \int (xe^x + x) dx$

次に、積分をそれぞれの項に分けます。

$\int (xe^x + x) dx = \int xe^x dx + \int x dx$

$\int x dx$ は簡単に計算できます。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

$\int xe^x dx$ は部分積分を使って計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C_2$

したがって、

$\int x (e^x + 1) dx = xe^x - e^x + \frac{x^2}{2} + C$

（$C = C_1 + C_2$）

3. 最終的な答え

$xe^x - e^x + \frac{x^2}{2} + C$