関数 $y = x^2 - 2x + m$ の値が、$0 \le x \le 3$ の範囲で常に負となるように、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + m$ の値が、$0 \le x \le 3$ の範囲で常に負となるように、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = x^2 - 2x + m$ を平方完成する。

$y = (x - 1)^2 - 1 + m$

この関数のグラフは、下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, -1 + m)$ である。

区間 $0 \le x \le 3$ における $y$ の最大値を求める。

$x = 1$ は区間内にあるので、頂点の $y$ 座標が最小値となる。最大値は $x=0$ または $x=3$ でとる。

$x = 0$ のとき $y = 0^2 - 2(0) + m = m$

$x = 3$ のとき $y = 3^2 - 2(3) + m = 9 - 6 + m = 3 + m$

$0 \le x \le 3$ の範囲で $y$ が常に負になるためには、区間内の最大値が負であればよい。

$m < 0$ かつ $3+m < 0$ である必要がある。

$m < 0$

$m < -3$

両方を満たすのは $m < -3$

3. 最終的な答え

$m < -3$