与えられた連立不等式を解きます。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $ \begin{cases} 5x+2 \ge 4x-1 \\ 4x-3 > 7x+5 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 2(x+4) > x+7 \\ 3(x-1) > 2(2x-3)+5 \end{cases} $ (3) $ \begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}x + 1 \\ 4x-3(3x+1) < 6(5x-3) \end{cases} $ (4) $ 4x-6 < 2x \le 5x+3 $

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解きます。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1)

$$

\begin{cases}

5x+2 \ge 4x-1 \\

4x-3 > 7x+5

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

2(x+4) > x+7 \\

3(x-1) > 2(2x-3)+5

\end{cases}

$$

(3)

$$

\begin{cases}

\frac{5}{6}x - \frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}x + 1 \\

4x-3(3x+1) < 6(5x-3)

\end{cases}

$$

(4)

$$

4x-6 < 2x \le 5x+3

$$

2. 解き方の手順

(1)

一つ目の不等式を解きます。

$$

5x+2 \ge 4x-1 \\

5x - 4x \ge -1 - 2 \\

x \ge -3

$$

二つ目の不等式を解きます。

$$

4x-3 > 7x+5 \\

4x - 7x > 5 + 3 \\

-3x > 8 \\

x < -\frac{8}{3}

$$

よって、解は$-3 \le x < -\frac{8}{3}$

(2)

一つ目の不等式を解きます。

$$

2(x+4) > x+7 \\

2x + 8 > x + 7 \\

2x - x > 7 - 8 \\

x > -1

$$

二つ目の不等式を解きます。

$$

3(x-1) > 2(2x-3) + 5 \\

3x - 3 > 4x - 6 + 5 \\

3x - 3 > 4x - 1 \\

3x - 4x > -1 + 3 \\

-x > 2 \\

x < -2

$$

よって、解は存在しません。

(3)

一つ目の不等式を解きます。

$$

\frac{5}{6}x - \frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}x + 1 \\

\frac{5}{6}x - \frac{1}{3}x \ge 1 + \frac{1}{2} \\

\frac{5}{6}x - \frac{2}{6}x \ge \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \\

\frac{3}{6}x \ge \frac{3}{2} \\

\frac{1}{2}x \ge \frac{3}{2} \\

x \ge 3

$$

二つ目の不等式を解きます。

$$

4x - 3(3x+1) < 6(5x-3) \\

4x - 9x - 3 < 30x - 18 \\

-5x - 3 < 30x - 18 \\

-5x - 30x < -18 + 3 \\

-35x < -15 \\

x > \frac{-15}{-35} \\

x > \frac{3}{7}

$$

よって、解は $x \ge 3$

(4)

$4x-6 < 2x \le 5x+3$

この不等式は次の2つの不等式に分解できます。

$$

\begin{cases}

4x-6 < 2x \\

2x \le 5x+3

\end{cases}

$$

一つ目の不等式を解きます。

$$

4x - 6 < 2x \\

4x - 2x < 6 \\

2x < 6 \\

x < 3

$$

二つ目の不等式を解きます。

$$

2x \le 5x + 3 \\

2x - 5x \le 3 \\

-3x \le 3 \\

x \ge -1

$$

よって、解は$-1 \le x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $-3 \le x < -\frac{8}{3}$

(2) 解なし

(3) $x \ge 3$

(4) $-1 \le x < 3$