## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の5つの小問から構成されています。

(1) $1+2i$ と $1-2i$ を解とする2次方程式を1つ作成する。

(2) $x^2 + 4$ と $2x^2 - 2x - 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

(3) 2次方程式 $x^2 + mx + 4 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(4) 2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とする2次方程式を作成する。

(5) 2次方程式 $x^2 + 3x + m = 0$ において、1つの解が他の解の2倍となるときの、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

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2. 解き方の手順

(1) **2つの解から2次方程式を作る**

解が $\alpha$ と $\beta$ である2次方程式は $k(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ (kは定数) と表せる。 今回、$\alpha = 1 + 2i$、$\beta = 1 - 2i$ なので、

$$(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = 0$$

$$x^2 - (1 - 2i)x - (1 + 2i)x + (1 + 2i)(1 - 2i) = 0$$

$$x^2 - x + 2ix - x - 2ix + (1 + 4) = 0$$

$$x^2 - 2x + 5 = 0$$

よって求める2次方程式は $x^2 - 2x + 5 = 0$ となる。

(2) **複素数の範囲で因数分解**

* $x^2 + 4$ の因数分解

$x^2 + 4 = 0$ を解くと、$x = \pm 2i$。 よって、

$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$

* $2x^2 - 2x - 3$ の因数分解

$2x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$。 よって、

$2x^2 - 2x - 3 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(3) **虚数解を持つ条件**

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が虚数解を持つのは、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ のとき。

今回の問題では、$x^2 + mx + 4 = 0$ より、$a = 1$, $b = m$, $c = 4$。 よって、

$$D = m^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 < 0$$

$$m^2 < 16$$

$$-4 < m < 4$$

(4) **新たな解を持つ2次方程式を作る**

$x^2 + 2x + 4 = 0$ の解は、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$。

よって、$\alpha = -1 + i\sqrt{3}$、$\beta = -1 - i\sqrt{3}$。

$\alpha - 1 = -2 + i\sqrt{3}$、$\beta - 1 = -2 - i\sqrt{3}$ を解とする2次方程式は、

$$(x - (-2 + i\sqrt{3}))(x - (-2 - i\sqrt{3})) = 0$$

$$(x + 2 - i\sqrt{3})(x + 2 + i\sqrt{3}) = 0$$

$$x^2 + (2 + i\sqrt{3})x + (2 - i\sqrt{3})x + (2 - i\sqrt{3})(2 + i\sqrt{3}) = 0$$

$$x^2 + 4x + (4 + 3) = 0$$

$$x^2 + 4x + 7 = 0$$

(5) **解の条件から定数を決定**

2つの解を $\alpha$ と $2\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = -3$

$\alpha(2\alpha) = m$

$\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -3$ より、$\alpha = -1$。

よって、$m = 2\alpha^2 = 2(-1)^2 = 2$。

2つの解は $-1$ と $-2$。

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3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x + 5 = 0$

(2)

* $x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$

* $2x^2 - 2x - 3 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(3) $-4 < m < 4$

(4) $x^2 + 4x + 7 = 0$

(5) $m = 2$、2つの解は $-1$ と $-2$