問題は、関数 $y = (\frac{1}{9})^x - 2(\frac{1}{3})^{x-1} + 2$ の $-2 \le x \le 0$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = (\frac{1}{9})^x - 2(\frac{1}{3})^{x-1} + 2$ の $-2 \le x \le 0$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$ であるから、$(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = (\frac{1}{3})^{2x}$ となります。

また、$(\frac{1}{3})^{x-1} = (\frac{1}{3})^x (\frac{1}{3})^{-1} = 3(\frac{1}{3})^x$ となります。

したがって、

$y = (\frac{1}{3})^{2x} - 2 \cdot 3(\frac{1}{3})^x + 2 = ((\frac{1}{3})^x)^2 - 6(\frac{1}{3})^x + 2$

ここで、$t = (\frac{1}{3})^x$ と置換すると、$y = t^2 - 6t + 2$ となります。

$-2 \le x \le 0$ のとき、$(\frac{1}{3})^0 \le (\frac{1}{3})^x \le (\frac{1}{3})^{-2}$、つまり $1 \le t \le 9$ となります。

$y = t^2 - 6t + 2 = (t-3)^2 - 9 + 2 = (t-3)^2 - 7$ と変形できます。

この関数は、$t = 3$ で最小値 $-7$ をとります。

$1 \le t \le 9$ の範囲では、$t = 3$ が範囲内に含まれるので、最小値は $-7$ です。

最大値を求めるためには、$t = 1$ と $t = 9$ のときの $y$ の値を比較します。

$t = 1$ のとき、$y = (1-3)^2 - 7 = 4 - 7 = -3$

$t = 9$ のとき、$y = (9-3)^2 - 7 = 36 - 7 = 29$

したがって、$1 \le t \le 9$ における最大値は $29$ です。

最小値をとる時のxの値を求めます。

$t = (\frac{1}{3})^x = 3$ より $3 = (\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ となるので、$-x = 1$、つまり $x = -1$ です。

最大値をとる時のxの値を求めます。

$t = (\frac{1}{3})^x = 9$ より $9 = (\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ となるので、$3^2 = 3^{-x}$、つまり $-x = 2$、すなわち $x = -2$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 29 ($x = -2$のとき)

最小値: -7 ($x = -1$のとき)