与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{2}+1$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分子と分母に $2+\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は

$(\sqrt{2}+1) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{3})$

となります。これを整理すると

$\sqrt{2}+1 - \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{3} = 1 + 2 = 3$

3. 最終的な答え

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