次の2次方程式が重解を持つようなkの値を求め、そのときの重解を求めよ。 (1) $x^2 - 6x + 2k + 5 = 0$ (2) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$ (3) $kx^2 + 2(k+3)x + 16 = 0$ (4) $kx^2 + 2(k-2)x + 2k - 1 = 0$

1. 問題の内容

次の2次方程式が重解を持つようなkの値を求め、そのときの重解を求めよ。

(1) $x^2 - 6x + 2k + 5 = 0$

(2) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$

(3) $kx^2 + 2(k+3)x + 16 = 0$

(4) $kx^2 + 2(k-2)x + 2k - 1 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

重解は $x = -\frac{b}{2a}$ で与えられます。

(1) $x^2 - 6x + 2k + 5 = 0$

$a = 1, b = -6, c = 2k + 5$

$D = (-6)^2 - 4(1)(2k+5) = 36 - 8k - 20 = 16 - 8k = 0$

$8k = 16$

$k = 2$

重解: $x = -\frac{-6}{2(1)} = 3$

(2) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$

$a = 1, b = 2k, c = k + 2$

$D = (2k)^2 - 4(1)(k+2) = 4k^2 - 4k - 8 = 0$

$k^2 - k - 2 = 0$

$(k-2)(k+1) = 0$

$k = 2, -1$

$k = 2$ のとき、 $x = -\frac{2(2)}{2(1)} = -2$

$k = -1$ のとき、 $x = -\frac{2(-1)}{2(1)} = 1$

(3) $kx^2 + 2(k+3)x + 16 = 0$

$a = k, b = 2(k+3), c = 16$

まず、$k = 0$ のとき、 $6x + 16 = 0$ となり、重解を持たない。したがって、$k \neq 0$

$D = [2(k+3)]^2 - 4(k)(16) = 4(k^2 + 6k + 9) - 64k = 4k^2 + 24k + 36 - 64k = 4k^2 - 40k + 36 = 0$

$k^2 - 10k + 9 = 0$

$(k-1)(k-9) = 0$

$k = 1, 9$

$k = 1$ のとき、 $x = -\frac{2(1+3)}{2(1)} = -4$

$k = 9$ のとき、 $x = -\frac{2(9+3)}{2(9)} = -\frac{24}{18} = -\frac{4}{3}$

(4) $kx^2 + 2(k-2)x + 2k - 1 = 0$

$a = k, b = 2(k-2), c = 2k - 1$

まず、$k = 0$ のとき、 $-4x - 1 = 0$ となり、重解を持たない。したがって、$k \neq 0$

$D = [2(k-2)]^2 - 4(k)(2k-1) = 4(k^2 - 4k + 4) - 8k^2 + 4k = 4k^2 - 16k + 16 - 8k^2 + 4k = -4k^2 - 12k + 16 = 0$

$k^2 + 3k - 4 = 0$

$(k+4)(k-1) = 0$

$k = -4, 1$

$k = -4$ のとき、 $x = -\frac{2(-4-2)}{2(-4)} = -\frac{-12}{-8} = -\frac{3}{2}$

$k = 1$ のとき、 $x = -\frac{2(1-2)}{2(1)} = -\frac{-2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $k=2$, $x=3$

(2) $k=2$, $x=-2$; $k=-1$, $x=1$

(3) $k=1$, $x=-4$; $k=9$, $x=-\frac{4}{3}$

(4) $k=-4$, $x=-\frac{3}{2}$; $k=1$, $x=1$