単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動く点Qの座標を(X, Y)とする。 (1) x軸の正の部分に始線をとり、点Qが一般角$\theta$の動径上にあるとき、X, Yの値を$\theta$を用いてそれぞれ表せ。 (2) $2X + 3Y$のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $6X^2 - 3X + 4Y^2$の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの点Qの座標をすべて求めよ。

1. 問題の内容

単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動く点Qの座標を(X, Y)とする。

(1) x軸の正の部分に始線をとり、点Qが一般角$\theta$の動径上にあるとき、X, Yの値を$\theta$を用いてそれぞれ表せ。

(2) $2X + 3Y$のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $6X^2 - 3X + 4Y^2$の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの点Qの座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Qは単位円上の点であり、一般角$\theta$の動径上にあるので、

$X = \cos \theta$

$Y = \sin \theta$

(2) $2X + 3Y = 2\cos \theta + 3\sin \theta$

三角関数の合成を行う。

$2\cos \theta + 3\sin \theta = \sqrt{2^2 + 3^2} \sin (\theta + \alpha) = \sqrt{13} \sin (\theta + \alpha)$

ただし、$\alpha$は$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$, $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$を満たす角である。

$-1 \le \sin (\theta + \alpha) \le 1$なので、

$-\sqrt{13} \le 2X + 3Y \le \sqrt{13}$

(3) $6X^2 - 3X + 4Y^2 = 6X^2 - 3X + 4(1 - X^2) = 2X^2 - 3X + 4$

$f(X) = 2X^2 - 3X + 4$とおく。

$f(X) = 2(X^2 - \frac{3}{2}X) + 4 = 2(X - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{3}{4})^2 + 4 = 2(X - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 4 = 2(X - \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

$-1 \le X \le 1$なので、

$X = \frac{3}{4}$のとき最小値$\frac{23}{8}$をとる。

このとき、$Y^2 = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$なので、$Y = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$X = -1$のとき最大値$2(-1)^2 - 3(-1) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9$をとる。

このとき、$Y = 0$

$X = 1$のとき$2(1)^2 - 3(1) + 4 = 2 - 3 + 4 = 3$をとる。

このとき、$Y = 0$

したがって、最大値は9($X = -1, Y = 0$のとき)、最小値は$\frac{23}{8}$($X = \frac{3}{4}, Y = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$のとき)

3. 最終的な答え

(1) $X = \cos \theta$, $Y = \sin \theta$

(2) $-\sqrt{13} \le 2X + 3Y \le \sqrt{13}$

(3) 最大値: 9 (座標: $(-1, 0)$), 最小値: $\frac{23}{8}$ (座標: $(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$, $(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$)