(1) 正の実数 $a, b$ について、$a-b = \sqrt{2}, ab = 1$ が成り立つとき、$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を $\sqrt{\boxed{ア}} + \sqrt{\boxed{イ}}$ の形で求める。ただし、$ \boxed{ア} > \boxed{イ}$ とする。 (2) $a$ を正の実数とする。$x$ の方程式 $2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$ が異なる 4 つの実数解をもつとき、$a$ のとり得る値の範囲を $\frac{\sqrt{\boxed{ウ}}}{\boxed{エ}} < a < \boxed{オ}$ の形で求める。 (3) $(\frac{1}{7})^{50}$ を小数で表すとき、初めて現れる 0 でない数字は小数第 $\boxed{カ}\boxed{キ}$ 位の $\boxed{ク}$ である。必要なら、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771, \log_{10} 7 = 0.8451$ としてよい。

1. 問題の内容

(1) 正の実数 $a, b$ について、$a-b = \sqrt{2}, ab = 1$ が成り立つとき、$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を $\sqrt{\boxed{ア}} + \sqrt{\boxed{イ}}$ の形で求める。ただし、$\boxed{ア} > \boxed{イ}$ とする。

(2) $a$ を正の実数とする。$x$ の方程式 $2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$ が異なる 4 つの実数解をもつとき、$a$ のとり得る値の範囲を $\frac{\sqrt{\boxed{ウ}}}{\boxed{エ}} < a < \boxed{オ}$ の形で求める。

(3) $(\frac{1}{7})^{50}$ を小数で表すとき、初めて現れる 0 でない数字は小数第 $\boxed{カ}\boxed{キ}$ 位の $\boxed{ク}$ である。必要なら、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771, \log_{10} 7 = 0.8451$ としてよい。

2. 解き方の手順

(1)

$a-b = \sqrt{2}$ より、$(a-b)^2 = 2$。

$a^2 - 2ab + b^2 = 2$

$a^2 + b^2 = 2 + 2ab = 2 + 2(1) = 4$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 4 + 2(1) = 6$

$a+b = \sqrt{6}$ (∵ $a>0, b>0$)

$a = \frac{(a-b) + (a+b)}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

$b = \frac{-(a-b) + (a+b)}{2} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{a-b} = \frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b} = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

よって、$\boxed{ア} = 3$, $\boxed{イ} = 2$

(2)

$2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$

$|x^2 - a^2| = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

場合分け

(i) $x^2 - a^2 \ge 0$ のとき

$x^2 - a^2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$x^2 - \frac{1}{2}x - a^2 - \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4(a^2 + \frac{1}{2})}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16(a^2 + \frac{1}{2})}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{16a^2 + 9}}{4}$

$x \ge a$ または $x \le -a$ でないと行けない。

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{16a^2 + 9}}{4} > 0$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{16a^2 + 9}}{4} < 0$

$x \ge a$ のとき、$\frac{1 + \sqrt{16a^2 + 9}}{4} \ge a$。

(ii) $x^2 - a^2 < 0$ のとき

$-x^2 + a^2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$x^2 + \frac{1}{2}x - a^2 + \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 4(a^2 - \frac{1}{2})}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16(a^2 - \frac{1}{2})}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{16a^2 - 7}}{4}$

$-a < x < a$ でないと行けない。

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{16a^2 - 7}}{4}$

$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{16a^2 - 7}}{4}$

そのためには、$16a^2 - 7 > 0$ が必要。つまり $a^2 > \frac{7}{16}$

$a > \frac{\sqrt{7}}{4}$

かつ、$-a < x < a$。$x_3 < a$, $x_4 > -a$ が必要。

$a > \frac{\sqrt{7}}{4}$ であれば異なる 4 つの実数解を持つ。

また、$\frac{1 + \sqrt{16a^2 + 9}}{4} = a$ を満たす場合解は3つになる。

解が 4 つ存在するには、$2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$を満たす$x$が、$x^2 - a^2 = 0$を満たさないこと。つまり$x = \pm a$が解ではないこと。

$x = a$ のとき、$2|a^2 - a^2| - a - 1 = 0$ より、$a=-1$なので、$x=a$は解ではない。

$x = -a$ のとき、$2|(-a)^2 - a^2| - (-a) - 1 = 0$ より、$a=1$なので、$a = 1$ のとき $x = -a$ は解となる。

$a > \frac{\sqrt{7}}{4}$ でかつ $\frac{1 - \sqrt{16a^2 - 7}}{4} > -a$ つまり$\frac{\sqrt{7}}{4} < a < 1$ を満たす必要がある。$a=1$だと、$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2} < 1$, $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1$ となるので、解が3つになる。

したがって、$\frac{\sqrt{7}}{4} < a < 1$

よって、$\boxed{ウ} = 7$, $\boxed{エ} = 4$, $\boxed{オ} = 1$

(3)

$(\frac{1}{7})^{50} = 7^{-50}$

$\log_{10} 7^{-50} = -50 \log_{10} 7 = -50(0.8451) = -42.255$

$(\frac{1}{7})^{50} = 10^{-42.255} = 10^{-43} \times 10^{0.745}$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$0.6990 < 0.745 < 0.7781$

$5 < 10^{0.745} < 6$

$10^{0.745} \approx 5.5$

$(\frac{1}{7})^{50} = 5.5 \times 10^{-43}$

よって、初めて現れる 0 でない数字は小数第 43 位の 5 である。

$\boxed{カ} = 4$, $\boxed{キ} = 3$, $\boxed{ク} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{7}}{4} < a < 1$

(3) 小数第 43 位の 5