十の位の数と一の位の数の和が12である2桁の整数がある。この整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をつくると、元の整数よりも36大きくなる。元の整数の十の位の数を$x$、一の位の数を$y$として、連立方程式を作り、元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

十の位の数と一の位の数の和が12である2桁の整数がある。この整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた数をつくると、元の整数よりも36大きくなる。元の整数の十の位の数を$x$、一の位の数を$y$として、連立方程式を作り、元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数は$10x + y$で表される。

位を入れ替えた整数は$10y + x$で表される。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$x + y = 12$

$10y + x = 10x + y + 36$

2つ目の式を整理する。

$10y + x = 10x + y + 36$

$9y - 9x = 36$

$y - x = 4$

これで連立方程式が完成した。

$x + y = 12$

$y - x = 4$

1つ目の式と2つ目の式を足し合わせる。

$(x + y) + (y - x) = 12 + 4$

$2y = 16$

$y = 8$

$y = 8$を1つ目の式に代入する。

$x + 8 = 12$

$x = 4$

元の整数は$10x + y$なので、$10(4) + 8 = 48$

3. 最終的な答え

48