数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。

階差数列を $b_n$ とすると、

$b_1 = 6-3 = 3$

$b_2 = 11-6 = 5$

$b_3 = 18-11 = 7$

$b_4 = 27-18 = 9$

となるので、階差数列 $b_n$ は初項 $3$, 公差 $2$ の等差数列です。

したがって、$b_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n+1$ となります。

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ ($n \ge 2$)

で与えられます。

$a_1 = 3$ であり、

$\sum_{k=1}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = (n-1)n + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

したがって、

$a_n = 3 + n^2 - 1 = n^2 + 2$ ($n \ge 2$)

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2+2 = 3$ となり、これは数列の最初の項と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = n^2+2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + 2$