与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。 (1) $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ $2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$ $3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$ (2) $x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$ $x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。

(1)

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$

$2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$

(2)

$x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$

$2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$

$x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) の場合:

連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

2 & -1 & 1 & 1 \\

3 & 1 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引く。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & -3 & -3 & -1 \\

0 & -2 & -2 & -2

\end{pmatrix}

$$

2行目を-3で割り、3行目を-2で割る。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1/3 \\

0 & 1 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目を引く。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 1/3 \\

0 & 0 & 0 & 2/3

\end{pmatrix}

$$

3行目の式は $0 = \frac{2}{3}$ となり、矛盾するので解は存在しない。

(2) の場合:

連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 3 \\

2 & 2 & -2 & 6 \\

1 & 3 & -5 & 5

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 2 & -4 & 2

\end{pmatrix}

$$

2行目と3行目を入れ替える。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 3 \\

0 & 2 & -4 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

2行目を2で割る。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & -1 & 3 \\

0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目から2行目を引く。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 2 \\

0 & 1 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

この行列は次の式に対応する:

$x_1 + x_3 + 2x_4 = 0$

$x_2 - 2x_3 + x_4 = 0$

したがって、 $x_1 = -x_3 - 2x_4$ かつ $x_2 = 2x_3 - x_4$。

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $x_1 = -x_3 - 2x_4$、 $x_2 = 2x_3 - x_4$