与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。 (1) $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ $2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$ $3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$ (2) $x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$ $x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

代数学連立一次方程式行列線形代数簡約化
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。
(1)
x1+x2+2x3+x4=0x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0
2x1x2+x3+x4=02x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0
3x1+x2+4x3+x4=03x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0
(2)
x1+x2x3+3x4=0x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0
2x1+2x22x3+6x4=02x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0
x1+3x25x3+5x4=0x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0

2. 解き方の手順

(1) の場合:
連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -3 & -1 \\
0 & -2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
2行目を-3で割り、3行目を-2で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1/3 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
3行目から2行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1/3 \\
0 & 0 & 0 & 2/3
\end{pmatrix}
3行目の式は 0=230 = \frac{2}{3} となり、矛盾するので解は存在しない。
(2) の場合:
連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
2 & 2 & -2 & 6 \\
1 & 3 & -5 & 5
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -4 & 2
\end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 2 & -4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
2行目を2で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
1行目から2行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
この行列は次の式に対応する:
x1+x3+2x4=0x_1 + x_3 + 2x_4 = 0
x22x3+x4=0x_2 - 2x_3 + x_4 = 0
したがって、 x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4 かつ x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

3. 最終的な答え

(1) 解なし
(2) x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

「代数学」の関連問題

(3) $y = x^2 + 3x + 1$ の $x^2 + 3x + 1 = 0$ を解の公式を用いて解く。 (4) $y = x^2 + 2x + 3$ の $x^2 + 2x + 3 = 0$...

二次方程式解の公式二次不等式
2025/7/10

問題は以下の通りです。 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とします。 (1) $f$ の逆変換 $f...

線形代数行列逆行列一次変換
2025/7/10

問題3では、与えられた2次関数のグラフとx軸との共有点のx座標を求める。問題4では、与えられた2次不等式を解く。

二次関数二次方程式二次不等式グラフ解の公式因数分解
2025/7/10

与えられた式 $\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k$ を計算し、簡単にすること。

シグマ数列公式計算
2025/7/10

問題は2つのパートから構成されています。 (1) $y = -3(x-2)^2 + 2$ の最大値または最小値を求める。 (2) $y = x^2 - 2x$ の最大値または最小値を求める。 (3) ...

二次関数最大値最小値平方完成放物線
2025/7/10

多項式 $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 3x - 10$ が $x+2$ を因数に持つかどうかを判定する。

因数定理多項式因数分解
2025/7/10

与えられた3つの二次関数のグラフの頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2$ (2) $y = 2x^2 - 3$ (3) $y = -2x^2 + 3$

二次関数頂点グラフ座標
2025/7/10

二次関数 $y = 3x^2 + 1$ のグラフは、$y = 3x^2$ のグラフをどのように平行移動させたものか答える問題です。

二次関数グラフ平行移動
2025/7/10

問題7:2次関数 $y = -x^2 - 8x + 1$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。 問題8:2次関数のグラフを平行移動させる問題です。$y = ア(x - イ)^2 + ウ$ のグラフをx...

二次関数平方完成グラフ頂点平行移動
2025/7/10

次の条件で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \fra...

数列漸化式等比数列一般項
2025/7/10