与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。 (1) $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ $2x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0$ $3x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0$ (2) $x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0$ $x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0$

代数学連立一次方程式行列線形代数簡約化
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、他の変数を残りの変数の一次式で表す。
(1)
x1+x2+2x3+x4=0x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0
2x1x2+x3+x4=02x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0
3x1+x2+4x3+x4=03x_1 + x_2 + 4x_3 + x_4 = 0
(2)
x1+x2x3+3x4=0x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0
2x1+2x22x3+6x4=02x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 6x_4 = 0
x1+3x25x3+5x4=0x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 5x_4 = 0

2. 解き方の手順

(1) の場合:
連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
2 & -1 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -3 & -3 & -1 \\
0 & -2 & -2 & -2
\end{pmatrix}
2行目を-3で割り、3行目を-2で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1/3 \\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
3行目から2行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1/3 \\
0 & 0 & 0 & 2/3
\end{pmatrix}
3行目の式は 0=230 = \frac{2}{3} となり、矛盾するので解は存在しない。
(2) の場合:
連立方程式を行列で表現し、簡約化を行う。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
2 & 2 & -2 & 6 \\
1 & 3 & -5 & 5
\end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -4 & 2
\end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 2 & -4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
2行目を2で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
1行目から2行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
この行列は次の式に対応する:
x1+x3+2x4=0x_1 + x_3 + 2x_4 = 0
x22x3+x4=0x_2 - 2x_3 + x_4 = 0
したがって、 x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4 かつ x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

3. 最終的な答え

(1) 解なし
(2) x1=x32x4x_1 = -x_3 - 2x_4x2=2x3x4x_2 = 2x_3 - x_4

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