問題は以下の通りです。 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とします。 (1) $f$ の逆変換 $f^{-1}$ を表す行列、すなわち行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 (2) $f$ によって点 $Q(1, 2)$ に移されるもとの点 $P(p_1, p_2)$ の座標を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ が表す一次変換を $f$ とします。

(1) $f$ の逆変換 $f^{-1}$ を表す行列、すなわち行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

(2) $f$ によって点 $Q(1, 2)$ に移されるもとの点 $P(p_1, p_2)$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式 $ad - bc \neq 0$ のとき、

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

で与えられます。

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の場合、行列式は $1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1$ です。したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 点 $Q(1, 2)$ に移されるもとの点 $P(p_1, p_2)$ の座標を求める。

点 $P(p_1, p_2)$ が一次変換 $f$ によって点 $Q(1, 2)$ に移されるということは、$A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が成り立つということです。

したがって、$\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となります。

$A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

したがって、$p_1 = -3$、$p_2 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $P(-3, 2)$