問題は2つのパートから構成されています。 (1) $y = -3(x-2)^2 + 2$ の最大値または最小値を求める。 (2) $y = x^2 - 2x$ の最大値または最小値を求める。 (3) $y = x^2 + 2x$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値と最小値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

問題は2つのパートから構成されています。

(1) $y = -3(x-2)^2 + 2$ の最大値または最小値を求める。

(2) $y = x^2 - 2x$ の最大値または最小値を求める。

(3) $y = x^2 + 2x$ ($-2 \le x \le 1$) の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -3(x-2)^2 + 2$ について:

この関数は、頂点が $(2, 2)$ の上に凸な放物線です。$x=2$ のとき、最大値 $2$ をとります。最小値はありません。

(2) $y = x^2 - 2x$ について:

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$

この関数は、頂点が $(1, -1)$ の下に凸な放物線です。$x=1$ のとき、最小値 $-1$ をとります。最大値はありません。

(3) $y = x^2 + 2x$ ($-2 \le x \le 1$) について:

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$

この関数は、頂点が $(-1, -1)$ の下に凸な放物線です。

定義域が $-2 \le x \le 1$ であるため、この範囲での最大値と最小値を考える必要があります。

頂点 $x=-1$ は定義域に含まれるため、 $x=-1$ で最小値 $-1$ をとります。

$x=-2$ のとき $y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$ です。

$x=1$ のとき $y = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$ です。

したがって、 $x=1$ で最大値 $3$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$ のとき、最大値 $2$。最小値はなし。

(2) $y = (x - 1)^2 - 1$

$x = 1$ のとき、最小値 $-1$。最大値はなし。

(3) $y = (x+1)^2 - 1$

$x=1$ のとき、最大値 $3$。

$x=-1$ のとき、最小値 $-1$。