与えられた式 $\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k$ を計算し、簡単にすること。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k$ を計算し、簡単にすること。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^n k^2$ と $\sum_{k=1}^n k$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$

したがって、与えられた式は

$\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)[(2n+1) - 12]$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1 - 12)$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n-11)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n-11)$