2次方程式 $x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$ が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を整理して、$x$ の2次方程式の標準形にする。

$x^2 - 2x + 1 = k(x-3)$

$x^2 - 2x + 1 = kx - 3k$

$x^2 - 2x - kx + 1 + 3k = 0$

$x^2 - (2+k)x + (1+3k) = 0$

この2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が0でなければならない。

$D = (2+k)^2 - 4(1+3k) = 0$

判別式を計算する。

$(2+k)^2 - 4(1+3k) = 4 + 4k + k^2 - 4 - 12k = k^2 - 8k = 0$

$k^2 - 8k = 0$

$k(k-8) = 0$

したがって、$k = 0$ または $k = 8$

$k=0$ のとき、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ なので、$x=1$ (重解)

$k=8$ のとき、$x^2 - (2+8)x + (1+3*8) = 0$ となり、$x^2 - 10x + 25 = 0$ なので、$(x-5)^2 = 0$ であり、$x=5$ (重解)

3. 最終的な答え

$k=0$ のとき、重解は $x=1$

$k=8$ のとき、重解は $x=5$