多項式 $P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ると余りが $x-1$、$x^2 - 2x - 3$ で割ると余りが $3x+1$ である。$P(x)$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ると余りが $x-1$、$x^2 - 2x - 3$ で割ると余りが $3x+1$ である。$P(x)$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x - 2$、$x^2 - 2x - 3$、$x^2 - 5x + 6$ をそれぞれ因数分解します。

\begin{align*}

x^2 - x - 2 &= (x-2)(x+1) \\

x^2 - 2x - 3 &= (x-3)(x+1) \\

x^2 - 5x + 6 &= (x-2)(x-3)

\end{align*}

条件より、

\begin{align*}

P(x) &= (x^2 - x - 2) Q_1(x) + x-1 = (x-2)(x+1)Q_1(x) + x-1 \\

P(x) &= (x^2 - 2x - 3) Q_2(x) + 3x+1 = (x-3)(x+1)Q_2(x) + 3x+1

\end{align*}

$P(x)$ を $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおくと、

$$P(x) = (x-2)(x-3) Q_3(x) + ax + b$$

ここで、$P(2)$ と $P(3)$ の値を求めます。

\begin{align*}

P(2) &= (2-2)(2+1)Q_1(2) + 2-1 = 1 \\

P(3) &= (3-3)(3+1)Q_2(3) + 3(3)+1 = 10

\end{align*}

また、

\begin{align*}

P(2) &= (2-2)(2-3)Q_3(2) + 2a + b = 2a + b \\

P(3) &= (3-2)(3-3)Q_3(3) + 3a + b = 3a + b

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

2a + b &= 1 \\

3a + b &= 10

\end{align*}

この連立方程式を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$a = 9$

$2(9) + b = 1$ より $b = 1 - 18 = -17$

よって、余りは $9x - 17$

3. 最終的な答え

$9x - 17$