与えられた数式の値を計算します。 数式は、$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

代数学式の計算有理化平方根計算
2025/7/6

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。
数式は、5+353535+3\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} です。

2. 解き方の手順

与えられた数式を計算するために、まず各分数を有理化します。
5+353\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} を有理化すると、
5+353=(5+3)(5+3)(53)(5+3)=(5+3)253=5+215+32=8+2152=4+15\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}
535+3\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} を有理化すると、
535+3=(53)(53)(5+3)(53)=(53)253=5215+32=82152=415\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}
したがって、
5+353535+3=(4+15)(415)=4+154+15=215\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = (4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) = 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}

3. 最終的な答え

2152\sqrt{15}

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