与えられた二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y=x^2-2x+3$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y=-x^2+4x-3$ ($1 \le x \le 4$) (3) $y=3x^2+6x-1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y=-2x^2+14x$ ($0 \le x \le 7$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y=x^2-2x+3$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y=-x^2+4x-3$ ($1 \le x \le 4$)

(3) $y=3x^2+6x-1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y=-2x^2+14x$ ($0 \le x \le 7$)

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、軸の位置と定義域の位置関係から最大値と最小値を求めます。

(1) $y=x^2-2x+3$

$y = (x-1)^2 + 2$

軸は $x=1$ で、定義域 $0 \le x \le 3$ の範囲内にあります。

$x=1$ のとき、最小値 $2$。

$x=3$ のとき、最大値 $(3-1)^2+2 = 4+2 = 6$。

$x=0$ のとき、$0^2 - 2(0) + 3 = 3$。

(2) $y=-x^2+4x-3$

$y = -(x-2)^2 + 1$

軸は $x=2$ で、定義域 $1 \le x \le 4$ の範囲内にあります。

$x=2$ のとき、最大値 $1$。

$x=4$ のとき、最小値 $-(4-2)^2+1 = -4+1 = -3$。

$x=1$ のとき、$-1^2 + 4(1) - 3 = 0$

(3) $y=3x^2+6x-1$

$y = 3(x+1)^2 - 4$

軸は $x=-1$ で、定義域 $1 \le x \le 3$ の範囲外にあります。

$x=1$ のとき、最小値 $3(1)^2 + 6(1) - 1 = 8$。

$x=3$ のとき、最大値 $3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$。

(4) $y=-2x^2+14x$

$y = -2(x^2-7x)$

$y = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

軸は $x = \frac{7}{2} = 3.5$ で、定義域 $0 \le x \le 7$ の範囲内にあります。

$x=\frac{7}{2}$ のとき、最大値 $\frac{49}{2} = 24.5$。

$x=0$ のとき、最小値 $0$。

$x=7$ のとき、最小値 $-2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：6 ($x=3$)、最小値：2 ($x=1$)

(2) 最大値：1 ($x=2$)、最小値：-3 ($x=4$)

(3) 最大値：44 ($x=3$)、最小値：8 ($x=1$)

(4) 最大値：$\frac{49}{2}$ ($x=\frac{7}{2}$)、最小値：0 ($x=0, 7$)