2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

$2x^2 - 5x + 4 = 0$ の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (\frac{5}{2})^2 - 2(2) = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25}{4} - \frac{16}{4} = \frac{9}{4}$

次に、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求める。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

最後に、$\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = \frac{5}{2}((\frac{5}{2})^2 - 3(2)) = \frac{5}{2}(\frac{25}{4} - 6) = \frac{5}{2}(\frac{25}{4} - \frac{24}{4}) = \frac{5}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{9}{4}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{5}{4}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{8}$