線形写像 $F$ を表す行列 $A$ を求める問題です。ただし、$F(v) = Av$ を満たします。 与えられた条件は以下の通りです。 $F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

線形写像 $F$ を表す行列 $A$ を求める問題です。ただし、$F(v) = Av$ を満たします。

与えられた条件は以下の通りです。

$F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、標準基底 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の $F$ による像を求めることを考えます。

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とすると、任意の2次元ベクトルは $v_1$ と $v_2$ の線形結合で表すことができます。特に、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

線形性より、

$F\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}F\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$

$F\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}F\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}F\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$