ある日に行われた100点満点の数学の試験におけるA組、B組、C組の男女別の平均点が表で与えられている。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求める。ただし、$x$は1以上39以下の整数である。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値をすべて求める。

1. 問題の内容

ある日に行われた100点満点の数学の試験におけるA組、B組、C組の男女別の平均点が表で与えられている。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求める。ただし、$x$は1以上39以下の整数である。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組の男子の合計点は$32 \times 60 = 1920$点、女子の合計点は$8 \times 70 = 560$点である。A組全体の合計点は$1920 + 560 = 2480$点。A組の人数は$32 + 8 = 40$人。よって、A組の平均点は$2480 / 40 = 62$点。

B組の平均点を求める。

B組の男子の合計点は$(40-x) \times 65$点、女子の合計点は$x \times 55$点である。B組全体の合計点は$(40-x) \times 65 + 55x = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$点。B組の人数は$40-x+x=40$人。よって、B組の平均点は$(2600 - 10x) / 40$点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいので、

$\frac{2600 - 10x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 62 \times 40 = 2480$

$10x = 2600 - 2480 = 120$

$x = 12$

(2) C組の平均点を求める。

C組の男子の合計点は$(x+5) \times 59$点、女子の合計点は$(40-x) \times 64$点である。C組全体の合計点は$(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = -5x + 2855$点。C組の人数は$x+5+40-x = 45$人。よって、C組の平均点は$\frac{-5x + 2855}{45}$点。

C組の平均点がA組の平均点以上である条件は、

$\frac{-5x + 2855}{45} \ge 62$

$-5x + 2855 \ge 62 \times 45 = 2790$

$-5x \ge 2790 - 2855 = -65$

$5x \le 65$

$x \le 13$

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上である条件は、

$|2600 - 10x - (-5x + 2855)| \ge 300$

$|2600 - 10x + 5x - 2855| \ge 300$

$|-5x - 255| \ge 300$

$|5x + 255| \ge 300$

$5x + 255 \ge 300$ または $5x + 255 \le -300$

$5x \ge 45$ または $5x \le -555$

$x \ge 9$ または $x \le -111$

$x$は1以上39以下の整数なので、$x \ge 9$

したがって、$9 \le x \le 13$。よって、$x = 9, 10, 11, 12, 13$。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点、$x=12$。

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$。