(1) 右図において、直線 $l$ が $x$ 軸と放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と3点A, B, Cで交わっている。点B, Cの $x$ 座標がそれぞれ-2, 4であるとき、以下の問いに答えよ。 ① 直線 $l$ の式を求めよ。 ② $\triangle BOC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 右図において、直線 $l$ が $x$ 軸と放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と3点A, B, Cで交わっている。点B, Cの $x$ 座標がそれぞれ-2, 4であるとき、以下の問いに答えよ。

① 直線 $l$ の式を求めよ。

② $\triangle BOC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ① 直線 $l$ の式を求める。

点Bの $x$ 座標は -2なので、点Bの $y$ 座標は $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$。したがって、点Bの座標は (-2, 2)である。

点Cの $x$ 座標は 4なので、点Cの $y$ 座標は $y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$。したがって、点Cの座標は (4, 8)である。

直線 $l$ は点B(-2, 2)と点C(4, 8)を通る。

直線 $l$ の傾きを $m$ とすると、

$m = \frac{8 - 2}{4 - (-2)} = \frac{6}{6} = 1$

したがって、直線 $l$ は傾きが1で、点B(-2, 2)を通るので、直線 $l$ の式は

$y - 2 = 1(x - (-2))$

$y - 2 = x + 2$

$y = x + 4$

(1) ② $\triangle BOC$ の面積を求める。

点Oは原点なので、座標は (0, 0)である。

$\triangle BOC$ の底辺をOCと考えると、OCの長さは、Cの$x$座標が4、Cの$y$座標が8なので、原点Oから直線BCへの距離を高さと考えることができる。

しかし、ここでは、直線 $l$ の $y$ 切片を点Dとし、線分ODを$\triangle BOC$の底辺と考えると、点Cの$x$座標を高さと考える方が容易である。直線 $l$ の $y$ 切片は4なので、D(0, 4)である。

$\triangle BOC$ の面積は、$\triangle DOC$ の面積から$\triangle DOB$ の面積を引くことで求められる。

$\triangle DOC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times OD \times (Cのx座標) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

$\triangle DOB$ の面積は、$\frac{1}{2} \times OD \times |Bのx座標| = \frac{1}{2} \times 4 \times |-2| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

したがって、$\triangle BOC$ の面積は $8 - 4 = 4$

別の考え方として、点Bからy軸に垂線を下ろし、その交点をEとすると、点Eの座標は(0, 2)である。同様に、点Cからy軸に垂線を下ろし、その交点をFとすると、点Fの座標は(0, 8)である。

$\triangle BOC$ の面積は、

$\frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B| = \frac{1}{2} |(-2)(8) - (4)(2)| = \frac{1}{2} |-16 - 8| = \frac{1}{2} |-24| = 12$.

3. 最終的な答え

(1) ① 直線 $l$ の式: $y = x + 4$

(1) ② $\triangle BOC$ の面積: 12