関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、定義域 $-1 \leq x \leq 3$ に対する値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、定義域 $-1 \leq x \leq 3$ に対する値域を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ は上に凸な放物線である。

定義域 $-1 \leq x \leq 3$ における値域を求める。

まず、この放物線の頂点を求める。頂点は $x=0$ のときである。

$x=0$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(0)^2 = 0$ となる。

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算する。

$x = -1$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2}$

$x = 3$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(3)^2 = -\frac{9}{2} = -4.5$

$x=0$ のときに $y=0$ であり、これは定義域内の値である。また、$x=3$のときに、$y=-4.5$が最小値となる。

したがって、値域は $-\frac{9}{2} \leq y \leq 0$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{9}{2} \leq y \leq 0$