行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ と線形写像 $y = Ax$ が与えられている。以下の不等式で表される領域が、この線形写像によってどのような領域に移るか、その像の領域を求め、図示する。 (1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ と線形写像 $y = Ax$ が与えられている。以下の不等式で表される領域が、この線形写像によってどのような領域に移るか、その像の領域を求め、図示する。

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1)

$y = Ax$ より、

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + x_2 \end{bmatrix}$

領域は $0 \le x_1 \le 1$ かつ $0 \le x_2 \le 1$ で表される正方形である。この正方形の4つの頂点がどのように移るかを調べると、

$(0, 0) \rightarrow (0, 0)$

$(1, 0) \rightarrow (1, 3)$

$(0, 1) \rightarrow (2, 1)$

$(1, 1) \rightarrow (3, 4)$

したがって、像の領域はこれらの4点を頂点とする平行四辺形となる。

(2)

$x_1 \ge 0$ は $x_2$ を自由に取れることを意味する。これは $x_1x_2$平面上の$x_1$軸の正の部分を含む半平面を表す。

$y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = 3x_1 + x_2$

$x_1 = \frac{-y_1 + 2y_2}{5}$, $x_2 = \frac{3y_1 - y_2}{5}$

$x_1 \ge 0$ より、$\frac{-y_1 + 2y_2}{5} \ge 0$ すなわち $-y_1 + 2y_2 \ge 0$。

$y_1 \le 2y_2$。したがって、像の領域は $y_1 \le 2y_2$ を満たす半平面となる。これは、$y_1y_2$平面上の直線 $y_1 = 2y_2$ の下側の領域を表す。

(3)

$x_2 \le -x_1$

$y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = 3x_1 + x_2$

$x_1 = \frac{-y_1 + 2y_2}{5}$, $x_2 = \frac{3y_1 - y_2}{5}$

$x_2 \le -x_1$ より、$\frac{3y_1 - y_2}{5} \le -\frac{-y_1 + 2y_2}{5}$。

$3y_1 - y_2 \le y_1 - 2y_2$

$2y_1 + y_2 \le 0$

$y_2 \le -2y_1$

したがって、像の領域は $y_2 \le -2y_1$ を満たす半平面となる。これは、$y_1y_2$平面上の直線 $y_2 = -2y_1$ の下側の領域を表す。

3. 最終的な答え

(1) 像の領域は、(0, 0), (1, 3), (2, 1), (3, 4) を頂点とする平行四辺形。

(2) 像の領域は $y_1 \le 2y_2$ を満たす半平面。

(3) 像の領域は $y_2 \le -2y_1$ を満たす半平面。