(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が3点 A, B, C で交わっている。点 B, C の $x$ 座標がそれぞれ -2, 4 であるとき、以下の問いに答える。 ① 直線 $l$ の式を求めよ。 ② $\triangle BOC$ の面積を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2$ がある。$y$ 軸上に点 P(0, a) をとる。ただし、$a > 0$ とする。放物線上に $x$ 座標がそれぞれ 1, 3 である点 A, B をとる。このとき、AP + BP が最小となる $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が3点 A, B, C で交わっている。点 B, C の $x$ 座標がそれぞれ -2, 4 であるとき、以下の問いに答える。

① 直線 $l$ の式を求めよ。

② $\triangle BOC$ の面積を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2$ がある。$y$ 軸上に点 P(0, a) をとる。ただし、$a > 0$ とする。放物線上に $x$ 座標がそれぞれ 1, 3 である点 A, B をとる。このとき、AP + BP が最小となる $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ① 点 B, C は放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の点なので、それぞれの座標は、B(-2, $\frac{1}{2}(-2)^2$) = B(-2, 2), C(4, $\frac{1}{2}(4)^2$) = C(4, 8) となる。

直線 $l$ は点 B, C を通るので、傾きは $\frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$ となる。

直線 $l$ の式を $y = x + b$ とおく。点 B(-2, 2) を通るので、代入して $2 = -2 + b$ より、$b = 4$ となる。

したがって、直線 $l$ の式は $y = x + 4$ である。

(1) ② $\triangle BOC$ の面積を求める。点 B の座標は (-2, 2), 点 C の座標は (4, 8), 点 O は原点 (0, 0) である。

$\triangle BOC$ の面積は、ベクトルの外積の半分で計算できる。ベクトル $\vec{OB}$ = (-2, 2), $\vec{OC}$ = (4, 8) なので、面積は $\frac{1}{2} |(-2)(8) - (2)(4)| = \frac{1}{2} |-16 - 8| = \frac{1}{2} |-24| = 12$ である。

あるいは、点 C から $x$ 軸に垂線を下ろし、点 B, 原点, 交点でできる三角形を引くことでも求められる。

$\triangle BOC$ の面積は、直線 $l$ の式 $y = x + 4$ と原点からの距離を高さとして、BCを底辺として計算しても良い。

点と直線の距離の公式を使うと、$ax + by + c = 0$ と点 $(x_0, y_0)$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。

$y = x + 4$ より $x - y + 4 = 0$ なので、原点(0, 0) との距離は $\frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ となる。

$BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$

$\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 12$

(2) 点 A, B の座標はそれぞれ A(1, 1), B(3, 9) となる。点 B の $x$ 軸に関して対称な点を B'(3, -9) とする。

AP + BP が最小となるのは、AP + BP = AP + B'P が最小となるときであり、これは A, P, B' が一直線上にあるときである。

直線 AB' の式を $y = mx + c$ とおく。A(1, 1), B'(3, -9) を通るので、

$1 = m + c$

$-9 = 3m + c$

この連立方程式を解くと、$2m = -10$ より $m = -5$ となり、$1 = -5 + c$ より $c = 6$ となる。

したがって、直線 AB' の式は $y = -5x + 6$ である。

点 P は $y$ 軸上の点なので、$x = 0$ を代入すると、$y = 6$ となる。したがって、P(0, 6) である。

よって、$a = 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) ① $y = x + 4$

(1) ② 12

(2) 6