数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、初項 $a_1$ は $S_1$ に等しいので、

$a_1 = S_1 = 1^3 + 2 = 3$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ の差で表されます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^3 + 2$ なので、

$S_{n-1} = (n-1)^3 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n + 1$

したがって、

$a_n = (n^3 + 2) - (n^3 - 3n^2 + 3n + 1) = 3n^2 - 3n + 1$

この式が $n=1$ のときも成り立つか確認します。

$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$

しかし、$a_1 = S_1 = 3$ なので、$n=1$ のときは別の表現が必要です。

したがって、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ であり、$a_1 = 3$ です。

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$