行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を図示する問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を図示する問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ の場合

この領域は、$(x_1, x_2)$ 平面上の正方形です。この正方形の4つの頂点 $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$, $(0, 1)$ が線形写像によってどのように移るかを考えます。

- $(0, 0) \rightarrow A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

- $(1, 0) \rightarrow A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

- $(1, 1) \rightarrow A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

- $(0, 1) \rightarrow A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、写像後の領域は、$(0, 0)$, $(1, 3)$, $(3, 4)$, $(2, 1)$ を頂点とする平行四辺形になります。この平行四辺形を図示します。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

この領域は、$x_1$ 軸の正の部分を含む半平面です。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$y = Ax = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ です。

$x_1 \ge 0$ のとき、$x_2$ は任意の実数です。

$y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = 3x_1 + x_2$ から $x_1$ と $x_2$ を $y_1$ と $y_2$ で表すと、

$x_1 = \frac{-y_1 + 2y_2}{5}$, $x_2 = \frac{3y_1 - y_2}{5}$

$x_1 \ge 0$ より、$\frac{-y_1 + 2y_2}{5} \ge 0$。したがって、$-y_1 + 2y_2 \ge 0$ つまり、$y_1 \le 2y_2$ となります。

この領域は、$y_2$軸を境界とする半平面で、$y_1 = 2y_2$ の下側になります。この領域を図示します。

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

この領域は、$x_2 = -x_1$ の直線の下側の領域です。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$y = Ax = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ です。

$x_2 \le -x_1$ のとき、$x_1$ は任意の実数です。

$y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = 3x_1 + x_2$ から $x_1$ と $x_2$ を $y_1$ と $y_2$ で表すと、

$x_1 = \frac{-y_1 + 2y_2}{5}$, $x_2 = \frac{3y_1 - y_2}{5}$

$x_2 \le -x_1$ より、$\frac{3y_1 - y_2}{5} \le -\frac{-y_1 + 2y_2}{5}$。したがって、$3y_1 - y_2 \le y_1 - 2y_2$ つまり、$2y_1 \le -y_2$ となります。

この領域は、$y_2$軸を境界とする半平面で、$y_2 \le -2y_1$ の下側になります。この領域を図示します。

3. 最終的な答え

(1) $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(3, 4)$, $(2, 1)$ を頂点とする平行四辺形。

(2) $y_1 \le 2y_2$ で表される領域。

(3) $y_2 \le -2y_1$ で表される領域。

(画像による図示は省略します。)