(1) (1) 図1において、$AR:RB$を求める。 (2) 図2において、$CQ:QA$を求める。 (2) 点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求める。

1. 問題の内容

(1)

(1) 図1において、$AR:RB$を求める。

(2) 図2において、$CQ:QA$を求める。

(2) 点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

(1) 図1において、メネラウスの定理を用いる。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題より、$BP:PC = 6:5$、$AQ:QC = 2:3$であるから、$CQ:QA = 3:2$。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{18}{10} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

(2) 図2において、メネラウスの定理を用いる。

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

問題より、$AR:RB = 2:3$、$BC:CP = 3:2$であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{AQ}{QC}=1$

したがって、$CQ:QA=1:1$

(2)

$\angle BAC = 35^\circ$、$\angle ABC = 25^\circ$。

$\angle ACB = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

点Oは$\triangle ABC$の外心なので、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

$\angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$

$\angle AOB = 2 \angle ACB = 2 \times 120^\circ = 240^\circ$

しかし、これはあり得ないので、中心角は$360 - 240 = 120$度になる。

$\triangle OBC$は$OB=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = x$

$2x + 70^\circ = 180^\circ$

$2x = 110^\circ$

$x = 55^\circ$

$\triangle OAC$は$OA=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = y$

$2y + 50^\circ = 180^\circ$

$2y = 130^\circ$

$y = 65^\circ$

3. 最終的な答え

(1)

(1) $AR:RB = 5:9$

(2) $CQ:QA=1:1$

(2) $\angle x = 55^\circ$、$\angle y = 65^\circ$