A組の人数を$x$、平均点を$a$とする。C組の人数は$x$であり、当初のC組の平均点はA組の平均点$a$以上であった。C組を欠席した2人の男子の点数の和は$k$点であり、この2人の点数を加えてC組の平均点を計算し直したところ、C組の平均点はA組の平均点$a$より低くなった。$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値を全て求める問題である。

1. 問題の内容

A組の人数を$x$、平均点を$a$とする。C組の人数は$x$であり、当初のC組の平均点はA組の平均点$a$以上であった。C組を欠席した2人の男子の点数の和は$k$点であり、この2人の点数を加えてC組の平均点を計算し直したところ、C組の平均点はA組の平均点$a$より低くなった。$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値を全て求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件を数式で表す。

* 当初のC組の合計点を$S$とすると、C組の平均点は$\frac{S}{x}$である。

* 当初のC組の平均点がA組の平均点以上なので、$\frac{S}{x} \geq a$。これは、$S \geq ax$と書き換えられる。

* 2人の点数を加えた後のC組の平均点は$\frac{S+k}{x+2}$である。

* 2人の点数を加えた後のC組の平均点がA組の平均点より低いので、$\frac{S+k}{x+2} < a$。これは、$S+k < a(x+2)$と書き換えられる。

* $S \geq ax$と$S+k < a(x+2)$より、$ax \leq S < a(x+2) - k$となる。

* したがって、$ax < a(x+2) - k$より、$ax < ax + 2a - k$。

* これより、$0 < 2a - k$、つまり$k < 2a$。

* また、$ax < a(x+2) - k$なので、$ax < ax + 2a - k$。

* $ax$の取りうる値は、$ax \leq S < a(x+2) - k$を満たす整数の$x$がただ一つである条件を考える。

$ax \le S < a(x+2) - k$となる$S$が存在するためには、$a(x+2)-k-ax>0$でなければならない。これは$2a-k>0$、つまり$k<2a$であることを意味する。

$ax \le S < a(x+2)-k$をみたす整数$x$がただ1つであるとき、$a(x+2)-k - ax$ が最小となる場合を考える。

問題文の条件を満たすためには、$a(x+2)-k$と$a(x+1)$の間に整数が存在しない必要がある。つまり、$x$がただ一つに定まるには、

$a(x+1) \geq a(x+2) -k$

$ax+a \geq ax+2a-k$

$k \geq a$

よって、$k$の取りうる値の範囲は$a \leq k < 2a$である。

$k$の値を全て求める。

$a \leq k < 2a$

3. 最終的な答え

$a \leq k < 2a$