問題は2つの図における角度$x$の大きさを求めるものです。また、3番目の問題は、周の長さが42である三角形ABCに内接円Iがあり、内接円の半径が4であるとき、三角形ABCの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの図における角度$x$の大きさを求めるものです。また、3番目の問題は、周の長さが42である三角形ABCに内接円Iがあり、内接円の半径が4であるとき、三角形ABCの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3)の①

* 中心角と円周角の関係を利用します。

* $\angle{AOB}$ は $\angle{ACB}$ の中心角なので、$\angle{AOB}=2\angle{ACB}=2 \times 35^\circ = 70^\circ$

* $\triangle{AOB}$において、$OA=OB$（半径）なので$\triangle{AOB}$は二等辺三角形です。

* したがって、$\angle{OAB} = \angle{OBA} = (180^\circ - 70^\circ)/2 = 55^\circ$

* $\angle{ODA}$について、$180^\circ - \angle{ODB} = \angle{ODA}$ なので $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

* $\angle{x} = 180^\circ - (\angle{ODA} + \angle{OAD}) = 180^\circ - (130^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 185^\circ = -5^\circ$となり得ない。

* したがって、$180^\circ = \angle{ODA} + \angle{ODB}$から$180^\circ = \angle{ODA} + 50^\circ$

* $\angle{ODA} = 130^\circ$

* $OA=OB$なので$\angle{OAB} = \angle{OBA} = (180^\circ - 70^\circ)/2 = 55^\circ$

* $\angle{x} = 180^\circ - (\angle{AOB} + \angle{ODB} + \angle{OAD}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ + 55^\circ)$

* $\angle{AOB} = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$

* $OAB$は二等辺三角形なので、$\angle{OAB} = \angle{OBA} = (180^\circ - 70^\circ)/2 = 55^\circ$

* $\angle{ADB} = \angle{x} + 55^\circ= 50^\circ + 35^\circ$より、円周角の定理より$\angle{ACB} = 35^\circ$

* $\angle{x} = 180^\circ - (\angle{ACB} + \angle{ABC}) = 180^\circ - (35^\circ + 50^\circ) = 95^\circ$

(3)の②

* 円周角の定理より、$\angle{BAC} = \angle{BFC} = 56^\circ$

* 三角形の内角の和は180°なので、$\angle{ABC} = 180^\circ - (\angle{BAC} + \angle{BCA})$

* $\angle{AEC} = 32^\circ$

* $\angle{ACD} = 180^\circ - (\angle{EAC} + \angle{AEC}) = 180^\circ - (\angle{BAC} + 32^\circ) = 180^\circ - (56^\circ + 32^\circ) = 92^\circ$

* $\angle{BCA} = 180^\circ - \angle{ACD} = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

* $\angle{x} = 180^\circ - (\angle{BAC} + \angle{BCA}) = 180^\circ - (56^\circ + 88^\circ) = 36^\circ$

(4)

* 三角形の面積の公式 $S = rs$ を利用します。ここで、$r$は内接円の半径、$s$は半周の長さです。

* 周の長さが42なので、半周の長さ $s = 42/2 = 21$ です。

* 内接円の半径 $r = 4$ です。

* したがって、三角形の面積 $S = 4 \times 21 = 84$ です。

3. 最終的な答え

(3)の①: $x = 15^\circ$

(3)の②: $x = 36^\circ$

(4): 84