三角形ABCにおいて、AB = 6, BC = 7, CA = 5であり、各辺が点P, Q, Rで円に接している。線分CRの長さを求めよ。

## (6)の問題

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 6, BC = 7, CA = 5であり、各辺が点P, Q, Rで円に接している。線分CRの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

線分CRの長さを $x$ と置きます。円の接線の性質より、円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しいので、AR = AP, BP = BQ, CQ = CR が成り立ちます。

よって、

AR = AC - CR = 5 - $x$

AP = AB - BP = 6 - BP

BQ = BC - CQ = 7 - $x$

となります。

AR = APなので、

5 - $x$ = 6 - BP

BP = 1 + $x$

また、BP = BQなので、

BQ = 1 + $x$

BQ = BC - CQなので、

1 + $x$ = 7 - $x$

2$x$ = 6

$x$ = 3

3. 最終的な答え

線分CRの長さは3です。