地面に垂直に立つ木PQがある。地面の点A, Bから木を見たときの角度が与えられている。 $\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$ このとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがある。地面の点A, Bから木を見たときの角度が与えられている。

$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$

このとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABQ$において、$\angle AQB$を求める。

$\angle AQB = 180^\circ - (\angle QAB + \angle QBA) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を使って$AQ$の長さを求める。

$\frac{AQ}{\sin \angle QBA} = \frac{BQ}{\sin \angle QAB}$

$\frac{AQ}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\sin 45^\circ}$

$AQ = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6}$

次に、$\triangle PAQ$において、$PQ = h$とおくと、$\angle PAQ = 30^\circ$なので、

$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{AQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10\sqrt{6}}$

$h = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{6}{3}} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

木PQの高さは$10\sqrt{2}$ mである。