平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下した垂線をAHとする。$AC = 2$, $BC = 3$, 平行四辺形ABCDの面積は$3\sqrt{3}$である。 以下の値を求める。 (1) 線分AHの長さ (2) $\angle BCA$の大きさ (3) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCへ下した垂線をAHとする。$AC = 2$, $BC = 3$, 平行四辺形ABCDの面積は$3\sqrt{3}$である。

以下の値を求める。

(1) 線分AHの長さ

(2) $\angle BCA$の大きさ

(3) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さ

平行四辺形ABCDの面積は、底辺BCと高さAHの積に等しいので、

$BC \times AH = 3\sqrt{3}$

$3 \times AH = 3\sqrt{3}$

$AH = \sqrt{3}$

(2) $\angle BCA$の大きさ

$\triangle AHC$において、$AC=2$, $AH = \sqrt{3}$である。

$\sin(\angle BCA) = \frac{AH}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\angle BCA = 60^\circ$

(3) 線分BDの長さ

平行四辺形ABCDにおいて、$BC=AD=3$, $\angle BCA = 60^\circ$であるから、$\angle ACD = \angle BAC$。

$\angle ACB = 60^\circ$より、$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD$

余弦定理を用いて$\triangle ABC$において、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2(AC)(BC)\cos(\angle BCA)$

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3) \cos(60^\circ) = 4+9-12(\frac{1}{2})=13-6 = 7$

$AB = \sqrt{7}$

平行四辺形より、$AB = CD = \sqrt{7}$

$\triangle BCD$において、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD) \cos(\angle BCD)$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC$である。

$\cos(\angle BCD) = - \cos(\angle ABC)$

$\triangle ABC$において、余弦定理より$\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2(AB)(BC)} = \frac{7+9-4}{2\sqrt{7}(3)} = \frac{12}{6\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

よって、$\cos(\angle BCD) = -\frac{2}{\sqrt{7}}$

$BD^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2(3)(\sqrt{7})(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = 9+7+12 = 28$

$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $AH = \sqrt{3}$

(2) $\angle BCA = 60^\circ$

(3) $BD = 2\sqrt{7}$