地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bがある。 $\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。 このとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bがある。

$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$mである。

このとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle QAB$において、$\angle AQB$を求める。

$\angle AQB = 180^\circ - (\angle QAB + \angle QBA) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

次に、正弦定理を用いて、QAを求める。

$\frac{BQ}{\sin \angle QAB} = \frac{QA}{\sin \angle QBA}$

$\frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{QA}{\sin 60^\circ}$

$QA = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{6}$

次に、$\triangle PAQ$において、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle AQP = 90^\circ - \angle PAQ = 90^\circ$なので、$\tan \angle PAQ = \frac{PQ}{QA}$を用いる。

$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{QA}$

$PQ = QA \tan 30^\circ = 10 \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$10\sqrt{2}$m