四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ である。対角線ACの長さを求め、四角形ABCDの面積を求める問題である。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ である。対角線ACの長さを求め、四角形ABCDの面積を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

$\triangle ABC$ において、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

$AC^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$AC^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4 - 4(1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(2) $\angle BAC$を求める。

$\triangle ABC$ において、正弦定理を用いると、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin \angle BAC} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$\sin \angle BAC = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle BAC = 45^\circ$

(3) $\angle CAD$を求める。

$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

(4) $\triangle ADC$の面積を求める。

$\triangle ADC = \frac{1}{2} AD \cdot AC \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \sin 60^\circ = \sqrt{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(5) $\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle B = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ = (1 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

(6) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = $\triangle ADC + \triangle ABC = 3 + \frac{\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{6 + \sqrt{3} + 3}{2} = \frac{9 + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{81} + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

対角線ACの長さは $\sqrt{6}$ である。

四角形ABCDの面積は $\frac{\sqrt{81} + \sqrt{3}}{2}$ である。