異なる色の9個の玉を、指定された条件で3つの組に分ける場合の数を求める問題です。 (1) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。 (2) 3個ずつの3つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された条件で3つの組に分ける場合の数を求める問題です。

(1) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

(2) 3個ずつの3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける場合

まず、9個からAに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$通りあります。

次に、残りの6個からBに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$通りあります。

最後に、残りの3個はCに入れるので、${}_3 C_3 = 1$通りです。

したがって、A, B, Cの組に分ける場合の数は、

${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3$

となります。

${}_9 C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3 C_3 = 1$

よって、

$84 \times 20 \times 1 = 1680$通り

(2) 3個ずつの3つの組に分ける場合

(1)と同様に、まず9個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$通り、

残りの6個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$通り、

残りの3個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_3 C_3 = 1$通りです。

しかし、この場合、組に名前がついていないため、(1)の場合のように計算すると、同じ分け方を異なるものとして数えてしまうことになります。

3つの組の区別がないので、3!で割る必要があります。

したがって、3個ずつの3つの組に分ける場合の数は、

$\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280$通り

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り