与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} - a_n = 3n - 1$ であることに注目します。

$n$ に $1$ から $n-1$ までの値を代入した式を書き下します。

\begin{align*}

a_2 - a_1 &= 3(1) - 1 \\

a_3 - a_2 &= 3(2) - 1 \\

a_4 - a_3 &= 3(3) - 1 \\

&\vdots \\

a_n - a_{n-1} &= 3(n-1) - 1

\end{align*}

これらの式を全て足し合わせると、左辺は $a_n - a_1$ となります。右辺は $\sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$ となります。

よって、

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$a_n = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

したがって、

$a_n = 1 + 3 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1$

$a_n = 2 + \frac{3n^2 - 3n - 2n}{2}$

$a_n = 2 + \frac{3n^2 - 5n}{2}$

$a_n = \frac{4 + 3n^2 - 5n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$